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  • Série numérique

    Formulaire de report

    Définition

    Série : expression de la somme des termes d'une suite

    Définition :
    Soit \((u_k)_{k\geqslant0}\) une suite de nbres complexes
    Alors la suite $$S_n=\sum^n_{k=0}u_k$$ s'appelle la série de terme général \(u_k\) et on la note par la somme infinie \(\sum_{k\geqslant0}u_k\)

    Terme général

    Le terme général de la série \(\sum u_k\) est la suite \((u_k)_k\)

    (Suite réelle)

    Suite des sommes partielles

    Définition :
    Si \(S_n=\sum_{k\geqslant0}u_k\) est une série, alors la suite \((S_n)\) s'appelle la suite des sommes partielles

    (Suite réelle)

    Reste

    Définition :
    On appelle reste de la série \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}u_n\) la suite $${{R_N}}={{\underbrace{\sum^{+\infty}_{n=0}u_n}_S-\underbrace{\sum^{+\infty}_{n=0}u_n}_{S_N}=\sum^{+\infty}_{n=N+1}u_n}}$$

    Remarque :
    On a $$\lim_NS_N=S\implies\lim_NR_N={{0}}$$

    Types de séries

    Série à termes positifs
    Série arithmétique
    Série géométrique
    Série alternée
    Série entière
    Série commutativement convergente

    Convergence

    Série convergente
    Série absolument convergente, Série semi-convergente

    Opérations et propriétés

    Série de Cauchy - Produit de Cauchy
    Permutation des termes d’une série
    Théorème de Mertens

    Linéarité

    Propriété :
    Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent, et si \(\lambda\in{\Bbb R}\), alors $${{\sum(\lambda u_n+v_n)}}={{\lambda\sum u_n+\sum v_n}}$$

    (Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)

    Produit de séries

    Théorème :
    Soit \(u_n\geqslant0\) et \(v_n\geqslant0\)
    Si $$w_p={{\sum_{m+n=p}u_nv_m=\sum^p_{n=0}u_nv_{p-n} }}$$
    Alors $${{\sum^{+\infty}_{p=0}w_p}}={{\left(\sum^{+\infty}_{n=0}u_n\right)\left(\sum^{+\infty}_{n=0}v_n\right)}}$$

    Consigne: Soit \(u_n\geqslant0\) et \(v_n\geqslant0\)
    Si $$w_p={{\sum_{m+n=p}u_nv_m=\sum^p_{n=0}u_nv_{p-n} }}$$
    Alors montrer que $${{\sum^{+\infty}_{p=0}w_p}}={{\left(\sum^{+\infty}_{n=0}u_n\right)\left(\sum^{+\infty}_{n=0}v_n\right)}}$$

    Définition de \(\sum w_n\)
    On a $$\sum^{+\infty}_{p=0}w_p=\sum^{+\infty}_{p=0}\left[\sum^{p}_{n=0}u_nu_{p-n}\right]$$

    D'après le théorème de Tonelli, on a : $$=\sum^{+\infty}_{n=0}\left[\left(\sum^{+\infty}_{p=n}v_{p-n}\right) u_n\right]$$

    On revient sur le produit de séries

    $$=\sum^{+\infty}_{n=0}\left( \sum^{+\infty}_{m=0} v_m\right) u_n=\left(\sum v_m\right)\left(\sum u_n\right)$$

    (Théorème de Tonelli - Théorème de Fubbi-Tonelli)

    Corollaire :
    Soit \(u_n\) et \(v_n\) des suites de signe quelconque
    Si les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont absolument convergentes, alors $${{w_p=\sum_{n+m=p}u_nv_p}}={{\left(\sum_{n}u_n\right)\left(\sum_mv_m\right)}}$$

    Séries particulières

    Série arithmétique
    Série géométrique
    Série harmonique
    Série entière
    Série de Fourier
    Série exponentielle
    Série harmonique alternée
    Série de Laurent
    Série de Riemann
    Série de Bertrand

    \(\sum\frac{\cos n}{n^\alpha}\) et \(\sum\frac{\sin n}{n^\alpha}\) convergent et sont absolument convergentes si \(\alpha\geqslant1\)

    Consigne: Soit \(\alpha\gt 0\)
    Montrer que les séries $$\sum\frac{\cos n}{n^\alpha}\quad\text{ et }\quad\sum\frac{\sin n}{n^\alpha}$$ convergent

    Convergence absolue pour \(\alpha\gt 1\)
    $$\frac{\lvert\cos n\rvert}{n^\alpha}\lt \frac1{n^\alpha}\quad\text{ et }\quad\frac{\lvert\sin\alpha\rvert}{n^\alpha}\lt \frac1{n^\alpha}$$
    Les séries sont donc convergentes et absolument convergentes pour \(\alpha\gt 1\)

    Début de l'application du théorème de la sommation d'Abel
    Pour \(0\lt \alpha\leqslant1\), on a $$\frac{\cos n}{n^\alpha}=\underbrace{\frac1{n^\alpha}}_{a_n}\underbrace{\cos n}_{b_n}\quad\text{ et }\quad\frac{\sin n}{n^\alpha}=\underbrace{\frac1{n^\alpha}}_{a_n}\underbrace{\sin n}_{b_n}$$
    Montrons que les \(b_n\) sont bornées
    Soient $$\begin{align} S_n&=1+\cos(1)+\ldots+\cos(n)\\ P_n&=\sin(1)+\ldots+\sin(n)\end{align}$$

    Alors $$S_n+iP_n=1+e^{i}+e^{2i}+\ldots+e^{ni}$$

    Convergence des séries géométriques
    On a donc : $$S_n+iP_n=\frac{1-e^{(n+1)i}}{1-e^{i}}$$

    En retransformant les \(e^{ki}\) en \(\cos(k)+i\sin(k)\), on obtient que la série est bornée

    \(P_n\) et \(S_n\) sont donc bornées, la série est donc convergente



    Formules

    $${{S_{n+1}-S_{n}}}={{u_{n+1} }}$$


    $$\sum^\infty_{n=1}{{\frac1{n^2} }}={{\frac{\pi^2}6}}$$

    Exercices

    Réécriture

    Consigne: Écrire sans \(\sum\) (uniquement avec des \(+\) et des \(\ldots\)) et calculer si possible $$\sum^N_{n=0}(-1)^n$$

    $$\begin{align}\sum^N_{n=0}(-1)^n=1-1+1-1+\ldots+(-1)^N&=\begin{cases}0&\text{si}\quad n\text{ est impair}\\ 1&\text{sinon.}&\end{cases}\\ &=\frac{1-(-1)^{N+1}}{2}\end{align}$$

    (Série géométrique)

    Consigne: Écrire sans \(\sum\) (uniquement avec des \(+\) et des \(\ldots\)) et calculer si possible $$\sum^n_{p=1}p$$

    $$\sum^n_{p=1}p=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$$

    (Série arithmétique)

    Consigne: Écrire sans \(\sum\) (uniquement avec des \(+\) et des \(\ldots\)) et calculer si possible $$\sum^n_{p=1}n$$

    $$\sum^n_{p=1}n=\underbrace{n+n+\ldots+n}_{n\text{ termes}}=n^2$$

    (Puissance)

    Consigne: Écrire sans \(\sum\) (uniquement avec des \(+\) et des \(\ldots\)) et calculer si possible $$\sum^n_{p=1}\frac np$$

    $$\sum^n_{p=1}\frac np=n+\frac n2+\frac n3+\ldots+1$$

    Consigne: Écrire sans \(\sum\) (uniquement avec des \(+\) et des \(\ldots\)) et calculer si possible $$\sum_{p=1}^nn^p$$

    $$\sum_{p=1}^nn^p=n+n^2+\ldots+n^n=\frac{n-n^{n+1}}{1-n}\quad&\text{si}\quad n\ne1$$ et si \(n=1\), \(\sum^n_{p=1}n^p=\sum^1_{p=1}1^p=1\)

    (Série géométrique)

    Consigne: Écrire avec \(\sum\) : $$1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots$$

    $$1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac1{2n+1}$$




  • Rétroliens :
    • Critère de Cauchy
    • Limite
    • Paradoxe de Zénon
    • Règle des racines de Cauchy
    • Série absolument convergente
    • Série alternée
    • Série convergente
    • Série de Fourier
    • Série à termes positifs
    • Théorème de comparaison série-intégrale
    • Théorème de la sommation d’Abel
    • Théorème des équivalents